Théorème
Théorème de densité :
\(C_c(\Omega)\) est dense dans \(L^1(\Omega)\)
(
Espace des fonctions continues à support compact,
Fonction intégrable)
La preuve utilise
Théorème de convergence dominée
Théorème de densité dans les \(L^p\) (1) :
$$\Huge\iff$$
- les fonctions étagées sont denses dans \(L^p\)
Théorème de densité dans les \(L^p\) (2) :
- soit \(p\in[1,+\infty[\)
- \(\mathcal A\) est dénombrablement générée (\(=\sigma(\mathcal C)\) avec \(\mathcal C\) dénombrable)
- \(\mu\) est \(\sigma\)-finie
$$\Huge\iff$$
Théorème de densité dans les \(L^p\) (3) :
- soit \(p\in[1,+\infty[\)
- soit \((E,d)\) un espace métrique
- \(\mu\) est borélienne finie
$$\Huge\iff$$
- les fonctions lipschitziennes sont denses dans \(L^p\)
Théorème de densité dans les \(L^p\) (4) :
- soit \(p\in[1,+\infty[\)
- soit \((E,d)\) un espace métrique
- \(\mu\) est de Radon finie
- \(E\) est localement séparable
$$\Huge\iff$$
- les fonctions lipschitziennes à support compact sont denses dans \(L^p\)
(
Fonction étagée,
Séparation,
Fonction lipschitzienne,
Mesure borélienne,
Mesure de Radon,
Espace des fonctions continues à support compact)
